Dua Cara Pematematikaan

Adalah Treffers (1978, 1987) yang menempatkan dua cara pematematikaan dalam sebuah perspektif baru, yang mana menyebabkan Freudenthal mengubah pemikirannya dengan lebih baik. Treffers merumuskan ide dari dua cara pematematikaan ini dalam suatu konteks pendidikan. Dia memberikan istilah pematematikaan secara ‘horisontal’ dan ‘vertikal’. Secara umum pembahasan pengertian dari dua bentuk pematematikaan ini adalah sebagai berikut. Pada kasus pematematikaan secara horisontal, peralatan matematis diajukan dan digunakan untuk mengorganisasikan dan menyelesaikan sebuah permasalahan yang dikondisikan dalam kehidupan sehari-hari. Pematematikaan secara vertikal, secara berlawanan, menunjukkan semua macam rumusan ulang dan operasi hitung yang dilakukan siswa dalam sistem matematika itu sendiri. Dalam bukunya yang terakhir, Freudenthal (1991) mengadopsi perbedaan dua cara pematematikaan Treffers, dan menyatakan pengertian keduanya sebagai berikut: untuk mematematikakan secara horisontal berarti berangkat dari dunia kehidupan menuju dunia simbol, dan untuk mematematikakan secara vertikal berarti bergerak dalam dunia simbol. Yang terakhir menyatakan secara tidak langsung, sebagai contoh, membuat pemintas dan menemukan hubungan antara konsep dan strategi dan memperoleh kegunaan penemuan ini. Freudenthal menegaskan bahwa, bagaimanapun, perbedaan antara kedua dunia ini jauh dari kejelasan, dan bahwa, dalam pandangannya, dunia ini tidaklah, dalam kenyataannya, terpisah. Selain itu, dia menemukan dua bentuk pematematikaan untuk menjadikan nilai yang sama, dan menekankan fakta bahwa kedua aktivitas bisa ditempatkan pada semua level kegiatan matematis. Dengan kata lain, sejajar pada level kegiatan berhitung, sebagai contoh, kedua bentuk mungkin terjadi.

Meskipun Freudenthal mengenalkan beberapa nuansa penting dalam formulasi dari dua cara pematematikaan ini, hal ini tidak mempengaruhi dasar (baca: inti) klasifikasi Treffers atau signifikansinya. Lagi pula, Treffers menilai dengan jelas bahwa RME secara jelas membedakan dirinya, di luar fokus pada dua cara pematematikaan ini, dari pendekatan-pendekatan lain (yang kemudian berlaku) pada pendidikan matematika. Menurut Treffers (1978, 1987, 1991) suatu pendekatan yang empiris hanya fokus pada pematematikaan secara horisontal, ketika suatu pendekatan yang strukturalis membatasi diri pada pematematikaan secara vertikal, dan dalam suatu pendekatan yang mekanis keduanya tidak ada. Seperti yang Treffers dan Goffree (1985) tekankan, macam-macam pematematikaan dimana salah satunya berfokus pada pendidikan matematika mempunyai konsekuensi penting bagi aturan model-model pembelajaran pada pendekatan yang berbeda pada pendidikan matematika, dan juga untuk macam-macam model pembelajaran yang digunakan.